الخطإ في الرياضيات

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله رب العالمين

ولا عدوان إلا على الظالمين

والصلاة والسلام على سيدنا محمد سيد المرسلين

وإمام المتقين وعلى آله وصحبه

الخطــأ في الرياضيــات

1) تعريف

من الصعب إعطاء تعريف مطلق أو ثابت لمفهوم الخطأ نظرا لاختلاف دلالاته تبعا لتباين الثقافات، فما نعتبره في ثقافتنا خاطئا قد يكون صحيحا في ثقافة أخرى، والعكس صحيح.

o يعرف "لالاند" الخطأ بكونه "حالة ذهنية أو فعل عقلي يعتبر صائبا ما هو خاطئ ، والعكس".

o ومن المنظور البيداغوجي فالخطأ "قصور لدى المتعلم في فهم أو استيعاب التعليمات المعطاة له من طرف المدرس يترجم سلوكيا بإعطاء معرفة لا تنسجم ومعايير القبول المرتقبة".

الخطأ في البيداغوجيا التقليدية :

يعتبر الخطأ في البيداغوجيا التقليدية سلوكا مشوشا وساقطا وسوء فهم يجب إقصاؤه وعدم السماح له بالظهور في إنتاجات المتعلمين.

الخطأ في البيداغوجيات الحديثة

يعتبر الخطأ في البيداغوجيات الحديثة حقا من حقوق المتعلم باعتباره منطلقا ومحركا لعمليات التعلم والتعليم.

تستند بيداغوجيا الخطأ إلى مبادئ علم النفس التكويني ومباحث ابستيمولوجيا "باشلار”، فهي تدرج تدخلات المدرس في صيرورة المحاولة والخطأ حيث لا يقصى وإنما يعتبر فعلا يترجم نقطة انطلاق التجربة المعرفية

يعطي "باشلار" لمفهوم الخطأ مكانة متميزة فهو ليس مجرد محاولة أو تعثر، بل ظاهرة بيداغوجية تمثل نقطة انطلاق المعرفة، لأن هذه الأخيرة لا تبدأ من الصفر بل تمر بمجموعة من المحاولات الخاطئة

إنه تصور ومنهج لعملية التعليم والتعلم تقوم على اعتبار الخطأ استراتيجية للتعليم والتعلم. فهو استراتيجية للتعليم لأن الوضعيات الديداكتيكية تعد وتنظم في ضوء المسار الذي يقطعه المتعلم لاكتساب المعرفة أو بنائها من خلال بحثه, وما يمكن أن يتخلل هذا البحث من أخطاء.

وهو استراتيجية للتعلم لأنه يعتبر الخطأ أمرا طبيعيا وإيجابيا يترجم سعي المتعلم للوصول إلى المعرفة.

وهكذا فبيداغوجيا الخطأ تريد وضع منهجية علمية واضحة في التعامل مع الخطأ لأن هدفها هو دمج الخطأ في الوضعيات الديداكتيكية لتصبح مناسبة تستغل في البحث عن الصواب.

إن ما يجب الإشارة إليه هو أنه عند تناول الخطأ مع المتعلمين وجب التأكيد على أنه من الخطأ يتعلم الإنسان، بل إن التعاقد البيداغوجي يجب أن يؤكد على ضرورة الاستفادة من الخطأ بشتى الطرق.

2) مكانــة الخطأ بين البيداغوجيات

مفهوم الرأس الفارغة

· الخطأ مؤشر عن خلل وظيفي

· يدل على الفشل بالنسبة للتلميذ والأستاذ على السواء.

· يجب مسح الخطأ وعدم السماح بظهوره

· نعيد الشرح أو الدرس إن اقتضى الأمر

· إذا تكرر الخطأ عند تلميذ، يعيد السنة

n وهكذا تتاح له فرصة إعادة الشرح.

وضعية البداية وضعية النهاية

رأس فارغة رأس مملوءة















يوجد





فرق شاسع بين معنى الرسالة الموجهة للتلميذ وبين المعنى الذي يعطيه لهذه الرسالة







المكتسبات عند بداية المقطع

مفهوم السلالم الصغيرة

o في هذا التصور ينبغي تجنب الخطأ

o عند ما يخطئ المتعلم فإن ذلك لا يرجع إلى معلوماته وإنما يكون التدرج المعتمد لا يلائم المتعلم.

o السلم الذي يعرج عليه التلميذ عال عليه.

nالمكتسبات عند نهاية المقطع





















· مثال : التدريس بالأهداف

· إنجاز المهام الوسيطية لا يعني بالضرورة إنجاز المهمة بكيفية شمولية

البنائيــة (مفهوم الرأس السوية)

o الخطأ ليس عيبا، إنه سلوك طبيعي

o عند ما يتعلم تلميذ يكون طبيعيا أن يخطئ

o وإذا لم يخطئ ، فإنه لن يتعلم شيئا جديدا،لأنه يعرف.

o الخطأ بالنسبة للأستاذ وسيلة تسمح له بتعرف تمثلات التلاميذ ومكتسباتهم السابقة بشأن التعلمات المستهدفة.

o ينبغي للأستاذ أن يشعر التلميذ باهتمامه بالأخطاء التي يرتكبها، وأنه يرغب في مساعدته على تجاوزها.











توازن جديد

فقدان التوازن

التوازن السابق

•نتعلم من خلال الفعل

•يوجد التلميذ في مركز الفعل البيداغوجي

•ينبغي إحداث صراع فكري بخصوص المكتسبات السابقة (جعل هذه المكتسبات موضع تساؤل)

• إعادة التوازن المعرفي يتطلب تجاوز العائق

عــائق

3) مصادر الأخطــاء

· مصدر نشوئي

قد يخطئ التلميذ لأننا ندعوه إلى إنجاز عمل يتجاوز قدراته العقلية ومواصفاته الوجدانية المميزة للمرحلة النمائية التي يعيشها.

· مصدر ابستيمولوجي

تعقّد المعرفة أو المفهوم المدرًّس وصعوبته لذاته قد تكون مصدرا لوقوع التلميذ في الخطأ.

· مصدر استراتيجي

ويقصد به الكيفية التي يتبعها أو يسلكها التلميذ في تعلمه وإنجازه.

· مصدر تعاقدي

قد تنتج الأخطاء عن غياب الالتزام بمقتضيات العقد الديداكتيكي القائم بين المدرس والمتعلم إزاء المعرفة المدرسة (غياب أو لبس في التعليمات المحددة لما هو مطلوب من التلميذ).

· مصدر ديداكتيكي

إن الأسلوب أو الطريقة المتبعة في التدريس قد تجر التلميذ للخطأ, إضافة إلى المحتويات وطبيعتها والأهداف ونوع التواصل القائم, والوسائل التعليمية, وتكوين المدرس..

4) استراتيجية تجاوز الخطأ:

تدعو بيداغوجيا الخطأ إلى إتباع منهجية علمية للتعامل مع الخطأ ومن الخطوات التي يمكن اتباعها :

1. تشخيص الخطأ ورصده.

2. إشعار المتعلم بحدوث خطأ واعتبار ذلك أمرا طبيعيا يتطلب المعالجة

3. تحديد مجال الخطأ والتمثلات والمعارف الرياضياتية المرتبطة به

4. تصنيف الخطأ وربطه داخليا بمصدر (نشوئي، تعاقدي، ديداكتيكي، إبيستيمولوجي، استراتيجي) وخارجيا بمرجعية (الوضعية، التعليمات، العمليات الذهنية، المكتسبات السابقة)

5. تأويل أسباب الخطأ ومصادره

6. اقتراح استراتيجية لمعالجة الخطأ وإشراك التلميذ في تصحيح خطأه بنفسه."



5) بعض الأخطاء المرتكبة في مجال الأعداد العشريــة

v أخطاء مرتبطة بالمقارنة والترتيب.

عند مقارنة وترتيب الأعداد العشرية يرتكب المتعلمون مجموعة من الأخطاء والتي يمكن إرجاعها إلى أربع قواعد ضمنية يستعملها المتعلمون كنماذج معرفية أو مبرهنات ضمنية أكدت نجاعتها وصلاحيتها في مجالات سابقة ولكنها لم تعد قابلة للتكيف مع الوضعيات المسائل الجديدة لأنها لا تمكن من إيجاد الحلول، وبالتالي أصبحت عائقا يحول دون بناء المعارف الرياضية الجديدة.

× القاعدة (1): العدد العشري هو عدد طبيعي بالفاصلة.

1,53 > 2,6 لأن 26 < 153

3,4 < 1,999 لأن 1999 > 34

× القاعدة (2) :

لمقارنة عددين عشريين نقارن جزئيهما العشريين.

3,75 < 2,315 لأن 315 > 75

× القاعدة (3) :

أكبر العددين العشريين اللذين لهما نفس الجزء الصحيح هو الذي له أكبر عدد من الأرقام بعد الفاصلة.

أو أكبر العددين العشريين اللذين لهما نفس الجزء الصحيح هو الذي جزؤه العشري أكبر.

15,314 > 15,71 لأن 71 < 314

3,900 > 3,9

1,000 > 1,0

33,03 > 33,3

× القاعدة (4):

أصغر العددين العشريين الذين لهما نفس الجزء الصحيح هو الذي له أصغر عدد من الأرقام بعد الفاصلة أو من له أصغر جزء عشري.

v أخطاء مرتبطة بالعمليات.

عند إنجاز العمليات على الأعداد العشرية يستعمل بعض التلاميذ مبرهنات ضمنية ( مبرهنة التلميذ) ، هذه المبرهنات هي قواعد لم تعد صالحة لحل الوضعيات المسائل الجديدة بعد ما كانت ناجعة في وضعيات سابقة.

× القاعدة (1) :

جداء عددين أكبر من كلا العددين أو ما يعبر عنه ب "الضرب يكبر"

لكل x و y من مجموعة الأعداد الطبيعية المخالفة ل 0 و 1 فإن : xy > x et xy > y

0,2 x 0,3 > 0,2 et 0,2 x 0,3 > 0,3



× القاعدة (2):

العدد العشري هو زوج من عددين طبيعيين ومنه فإن :

(a,b) + (c,d) = ( a+c,b+d)

(a,b) x (c,d) = (ac,bd)

3,6 + 2,8 = 5,14

2,4 x 7,5 = 14,20

× القاعدة (3) :

العدد العشري هو عدد طبيعي بالفاصلة وبالتالي يتم تمديد خاصيات العمليات من N إلى D حيث الفاصلة العشرية لا تؤخذ بعين الاعتبار، فقد تزول أو تحتفظ بموضعها.

× القاعدة (4):

الصفر بعد الفاصلة لا يغير من النتيجة لذلك يمكن حذفه

1,03 = 1,3 = 1,30

× القاعدة(5):

(a,b) + d = (a,b+d)

عند جمع أو طرح عددين أحدهما عشري والآخر طبيعي نضع الكتابة العمودية بحيث يكون العدد الطبيعي تحت أو فوق العدد العشري.

5,7 + 4 = 5,12 أو 5,7 + 4 = 9,7

× يخلط التلميذ بين جذاء وجمع عددين كسريين.

وفي الهندســة :

- لا يميز بين التماثل المحوري والإزاحة ( الشكلان المتماثلان هما شكلان متشابهان)

- إذا كبر محيط شكل كبرت مساحته، والعكس صحيح

- لا يميز بين المربع والمستطيل، فكل رباعي هو مربع أو مستطيل

- لا يميز بين الدائرة والقرص

- لا يستطيع رسم الأشكال الهندسية الاعتيادية على ورقة بيضاء

- يخلط بين وحدات قياس المساحات والأطوال ( مساحة مستطيل هي 6cm )

- لا يتحكم في استعمال الأدوات الهندسية الاعتيادية